В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом а. Все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания угол b. Высота пирамиды равна Н. Определить площадь основвания пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны прямоугольного треугольника основания как a и b. Тогда площадь основания равна S = a * b.

Так как угол b между боковыми ребрами и плоскостью основания равен, то он также равен углу между одним из боковых ребер и высотой пирамиды. Так как угол b меньше угла α между гипотенузой прямоугольного треугольника и плоскостью основания, то обозначим угол b как β.

Так как треугольник на боковой грани пирамиды тоже прямоугольный, то по теореме Пифагора:

( a^2 = h^2 + (b \cdot \cos(\beta))^2 )

где h - высота пирамиды, b - длина стороны основания прямоугольного треугольника, а - его ширина.

Из условия задачи известно, что высота пирамиды H и угол альфа:

( H = h \cdot \sin(\alpha) = \frac{a \cdot b}{a + b} )

Также из условия задачи следует, что ( \sin (\alpha) = b/\sqrt{a^2 + b^2} )

Теперь выразим ( h^2 )

[ h^2 = a^2 - \left( b \cdot \cos(\beta) \right)^2 ]

Теперь можем вставить все формулы в формулу для нахождения площади основания.

А вот и финальная формула для площади основания пирамиды, зная h и a, b:

[ S = a \cdot b = \frac{(H \cdot \sin(\alpha)) \cdot (a + b)}{\sqrt{\frac{a^2}{\frac{b^2}{(a^2 + b^2)}} - \cos^2(\beta)}} ]