Стороны AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD равны. Через середины диагоналей AC и BD проведена прямая, которая пересекает cтороны AB и CD в точках M и N соответственно. Докажите, что ∠BMN=∠CNM.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Поскольку AB=CD, то AM=MB и DN=NC (так как M и N - середины соответственных сторон). Также из равенства сторон AC=BD следует, что AM=MC и DN=NB.

Теперь рассмотрим треугольники AMN и CNM. У них две стороны равны (AM=MC и DN=NB), а угол AMN равен углу CNM, так как прямая MN пересекает стороны в параллельных точках (это следует из того, что MN - медиана треугольника ADC и пересекает ее в точке, делящей сторону DC пополам, т.е. N), значит, треугольники AMN и CNM равны по стороне и двум углам, значит, третий угол в них равен (по свойству равенства треугольников).

Таким образом, у нас две пары равных углов: ∠AMN = ∠CNM и ∠AMN = ∠CNM, что автоматически означает равенство ∠BMN и ∠CNM.