ВАРИАНТ 1 1. Найдите углы четырехугольника, если три угла его равны между собой, а четвертый меньше одного из них на 40°. 2. В параллелограмме ABCD LC = 40°. Точка Е лежит на стороне ВС, причем LBAE ~ 20°. ЕС = 2 см; АВ = 10 см. Найдите AD. 3. В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 10 см. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О и соответственно равны 14 см и 10 см. Найдите периметр треугольника АОВ. 4. В четырехугольнике ABCD АВ = CD и АВ ||CD. LCBD — 15°. Чему равен LBDAP. 5. В параллелограмме ABCD на сторонах АВ и CD от вершин А и С отложены равные отрезки AF и СЕ. В четырехугольнике FBED LBFD = 50°. Чему равен угол BED'? 6. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. LCOD = 60°. CD = 10 см. Чему равны диагонали прямоугольника? 7. Угол между высотами ромба, проведенными из одной из его вершин, равен 30°. Высота ромба равна 5 см. Найдите периметр ромба. 8. В квадрате сумма расстояний от его центра до сторон равна 20 см. Чему равен периметр квадрата? 9. В равнобедренной трапеции ABCD (AD и ВС — основания) диагонали взаимно перпендикулярны. BE JL AD. ED = 4 см. Чему равна высота трапеции? 10. В прямоугольном треугольнике ABC LA - 45° (LC — 90°). Е — середина АВ. Через точку Е проведена прямая, параллельная АС, которая пересекает ВС в точке F. EF= 10 см. Найдите ВС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

ВАРИАНТ 1

Пусть три равных угла четырехугольника равны x. Тогда четвертый угол будет x - 40°. Сумма углов четырехугольника равна 360°, поэтому получаем уравнение 3x + x - 40 = 360. Решая его, получаем x = 100°. Таким образом, углы четырехугольника равны 100°, 100°, 100° и 60°.Из сходства треугольников LBAE и ВЕС следует, что угол BAE = 20°. Также, угол BCD = 40°, так как BCD = 180° - LBCD. Из параллельности ВА и CD следует, что угол BAD = 140°, так как BAD + BCD = 180°. Теперь можем найти AB = AD = 10 см. Поскольку AC = BD, треугольник АВО — равнобедренный. Пусть АО = OV = х. Из треугольника AOВ по теореме косинусов найдем х = 7 см. Таким образом, периметр треугольника АОВ равен 7 + 7 + 10 = 24 см.Поскольку AB = CD, треугольникы BAD и CDA являются подобными, и AD/CD = BA/AC или AD/10 = 10/14, AD = 5 √2 см. Так как BDA — равнобедренный треугольник, LBD = LDL - (180-150)/2= 15°. Поэтому LBDAP равен 30°.Так как AF = CE, треугольники FED и ABF равны по сторонам и углам, значит, BED = BFE = 65°. Угол BFD = 180° - 50° = 130°, значит, угол BED' = 360° - 65° - 130° = 165°.По теореме синусов CO/CD = sin60°, CO = 5 √3. Так как он перпендикулярный прямоугольник, то с одной из вершин равенство расстояний, то и CD = 10. Поскольку угол между высотами ромба, проведенными из одной из его вершин, равен 30, высота ромба является стороной треугольника. Опустим высоту на основание и в один из получившихся треугольников введем высоту, проведенную к противолежащей стороне. Тогда соединим вершины треугольников и получим треугольник 30-60-90, в которм угол при основании ромба равен 60°. Поэтому получаем, что периметр ромба равен 5 √3.Пусть сторона квадрата равна а. Тогда расстояние от центра квадрата до стороны равно a/2, и из уравнения a+2(a/2) = 20 получаем, что а = 8. Таким образом, периметр квадрата равен 32 см.Пусть высота трапеции равна h. Тогда BE = h, ED = 4. По теореме Пифагора в треугольнике BED получаем, что BD = √(h^2 + 16). Из подобия треугольников ACD и BED следует, что h/4 = 10/√(h^2 + 16), откуда h = 8 см.Пусть BC = x, тогда AE = x/√2. По теореме Пифагора в треугольнике ABE получаем, что x = 10√2. Таким образом, ВС = 20√2 см.