Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 26 см, а высота, опущенная на основу, - 10 см. Определите радиусы окружностей, вписанной в треугольник и описанной вокруг него.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основа равнобедренного треугольника равна (a), а высота, опущенная на основу, равна (h).

Так как треугольник равнобедренный, то высота является также медианой и биссектрисой, следовательно, она делит основу (a) на две равные части. Таким образом, получаем, что основа (a = 2 \cdot 10 = 20) см.

Теперь найдем боковые стороны треугольника, используя теорему Пифагора:
[ c^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 ]
[ c^2 = 10^2 + 26^2 ]
[ c^2 = 100 + 676 ]
[ c^2 = 776 ]
[ c = \sqrt{776} ]
[ c = 28 \, \text{см} ]

Теперь можем найти радиусы вписанной и описанной окружностей. Радиус вписанной окружности равен (r = \frac{S}{p}), где (S) - площадь треугольника, а (p) - полупериметр треугольника. Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле (S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot a), а полупериметр равен (p = \frac{c + 2a}{2}).

[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 20 = 100 \, \text{см}^2 ]
[ p = \frac{28 + 2 \cdot 20}{2} = 34 \, \text{см} ]
[ r = \frac{100}{34} = \frac{50}{17} \, \text{см} ]

Радиус описанной окружности равен половине длины биссектрисы треугольника (r_c = \frac{c}{2} = 14) см.

Итак, радиус вписанной окружности равен (\frac{50}{17}) см, а радиус описанной окружности равен 14 см.