Точки D и Е - середины сторон АВ и ВС треугольника АВС, а точки М и N лежат на строне АС, причем АМ=МN=NС, вектор АМ= вектору a, вектор АD= вектору b. а) Выразите векторы АЕ, ВN, EN через векторы а и b. б) Докажите с помощью векторов, что BN║DM.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а)
Так как D и E - середины сторон AB и BC соответственно, то векторы AE и BE равны половине векторов AB и BC:

AE = 1/2 AB
BE = 1/2 BC

Также, так как AM = MN = NC, то векторы AN и CN равны половине вектора AC:

AN = 1/2 AC
CN = 1/2 AC

Таким образом:

1) Вектор AE = 1/2 AB
2) Вектор BN = BC - CN = BC - 1/2 AC
3) Вектор EN = AN - AE = 1/2 AC - 1/2 AB

б)
Для доказательства того, что BN || DM, необходимо показать, что вектор BN кратен вектору DM.

Из условия задачи известно, что AD = b, а также AM = MN = NC. Таким образом, вектор DM равен сумме векторов AM и MC:

DM = AM + MC = AM + CN

Используя результаты из пункта а), можем выразить все необходимые векторы через векторы а и b:

DM = AM + CN = a + 1/2 * AC

Теперь необходимо показать, что вектор BN кратен вектору DM. Для этого найдем вектор BN и выразим его через векторы а и b:

BN = BC - CN = BC - 1/2 * AC

Так как AC = AB + BC, то можем выразить вектор BN как:

BN = BC - 1/2 AC = BC - 1/2 (AB + BC) = 1/2 BC - 1/2 * AB

Таким образом, вектор BN кратен вектору DM, так как BN = 1/2 (BC - AB) = 1/2 DM. Значит, BN || DM.