Дан параллелограмм ABCD с длинами сторон 12 и 8. Биссектрисы его углов при пересечении образуют четырёхугольник. Чему равны длины диагоналей этого четырёхугольника?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Длины диагоналей четырехугольника, образованного биссектрисами углов параллелограмма, равны 10 и 6.
Для нахождения длин диагоналей четырехугольника воспользуемся свойством, что они равны по модулю и перпендикулярны друг другу.
Пусть точка пересечения биссектрис равна O.
Так как четырехугольник ABCD — параллелограмм, то у него противоположные стороны равны и параллельны, то есть AB = CD = 12 и BC = AD = 8.
Тогда в треугольнике AOB по теореме пифагора получаем:
AO ^ 2 + BO ^ 2 = AB ^ 2
AO ^ 2 + BO ^ 2 = 12 ^ 2
AO ^ 2 + BO ^ 2 = 144
Аналогично для треугольника AOD, в котором AD = BC = 8 получим:
AO ^ 2 + DO ^ 2 = AD ^ 2
AO ^ 2 + DO ^ 2 = 8 ^ 2
AO ^ 2 + DO ^ 2 = 64
Поскольку треугольники AOB, AOD и разные высоты из точки O, то эти три биссектрисы являются перпендикулярными.
Значит, AO и DO — диагонали получившегося четырехугольника, а BO и CO - еще две его диагонали.
Так как AO = DO и BO = CO, то длины всех диагоналей четырехугольника равны по модулю.
Из уравнений выше можно найти значения AO и BO, а затем найти их длины:
AO ^ 2 = 80
AO = √80
AO = 4√5
Аналогично, BO = 6
Таким образом, длины диагоналей четырехугольника равны 10 и 6.