Медиана СМ треугольника АВС в 2 р. меньше его стороны АВ. Докажите, что медианы МР и МQ треугольников АМС и ВМС взаимно перпендикулярны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обратим внимание на то, что медиана СМ делит треугольник на два равновеликих треугольника САМ и СВМ, так как медиана делит стороны треугольника пополам.

Из условия задачи у нас есть, что медиана СМ равна 2 р. и меньше стороны АВ, то есть МС = 2p, а АВ = 2p + 4p = 6p.

Так как треугольники САМ и СВМ равновеликие, то их высота, проведенная из вершины M, будет проходить через середину стороны СА и СВ соответственно. Это значит, что вершина М прямоугольного треугольника СМП лежит на сторонах СА и СВ.

Таким образом, у нас получается, что прямоугольный треугольник СМП с вершиной М имеет катет МР равный 1/2 стороны АМ треугольника АМС (так как М лежит по середине СА), и катет МQ равный 1/2 стороны ВМ треугольника ВМС (так как М лежит по середине СВ).

Из формулы пифагора для прямоугольного треугольника МРQ получаем: МР^2 + МQ^2 = СМ^2 = 4p^2.

Теперь рассмотрим треугольник АВС и прямоугольный треугольник МРQ. По условию задачи известно, что медиана СМ равна 2p и меньше стороны АВ. Так как треугольники АМС и ВМС равновеликие, то медианы МР и МQ перпендикулярны и мы доказали заданное утверждение.