Биссектриса AN параллелограмма ABCD разбивает этот угол A на два угла по 30 градусов каждый, а противоположную сторону разбивает на отрезки BN = 8 см и CN = 2 см. Найдите площадь параллелограмма.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть M - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Так как AN - биссектриса угла BAC, то треугольник CAN равнобедренный, следовательно, AC = 2*CN = 4 см.

Так как треугольник ABC - равнобедренный, то BC = AC = 4 см.

Из равенства треугольников ANB и CNM получаем, что AN = 2*CN = 4 см, и следовательно, AB = 4 + 4 = 8 см. Таким образом, AB = BN = 8 см.

Так как BN = AB = AN, то треугольник BAN равнобедренный, откуда следует, что угол ABC = 180° - 2*30° = 120°.

Теперь рассмотрим треугольник BNC. Так как BN = 8 см, а CN = 2 см, то угол BNC = arcsin(CN/BN) = arcsin(0.25) ≈ 14.48°.

Из этого следует, что угол BCD = 180° - (120° + 14.48°) = 45.52°.

Теперь можно найти площадь треугольника BCD, равную S = 0.5BCCDsin(BCD) = 0.548sin(45.52°) ≈ 11.22 см^2.

Так как площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника BCD (так как он равенутренний), то S(parallelogram) = 2*11.22 = 22.44 см^2.

Итак, площадь параллелограмма ABCD равна 22.44 см^2.