В прямоугольном треугольнике ABC высота CD ,проведенная к гипотенузе AB делит эту гипотенузу в отношении AD:DB=1:4.Найдите площадь треугольника ABC,если CD=32 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AC = a, BC = b, AB = c.

Так как AD:DB=1:4, то предположим, что AD = x, DB = 4x.
Так как CD=32 см, то BD = AB - AD = 5x.
Так как AD:DB=1:4, то AD/DB = 1/4, x/(4x) = 1/4, x = 4 см.
Тогда BD = 5*4 см = 20 см.

Площадь треугольника равна S = 1/2 AB CD.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC выполняется:
AC^2 + BC^2 = AB^2
a^2 + b^2 = c^2
Но так как AD:DB=1:4, то a:b = 1:4 => a = 4b.
Тогда из уравнения Пифагора имеем:
(4b)^2 + b^2 = c^2
16b^2 + b^2 = c^2
17b^2 = c^2
c = b*sqrt(17)

Так как CD проведена к гипотенузе, то ABC - подобны:
CD/AC = BD/AB
32/a = 20/(b*sqrt(17))
b = 5
a = 4b = 20

Тогда c = bsqrt(17) = 5sqrt(17)

S = 1/2 AB CD = 1/2 20 32 = 320 см^2.