Докажите, что расстояние от всякой точки окружности, описанной около равностороннего треугольника, до одной из его вершин равно сумме расстояний от этой точки до двух других вершин.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим вершины равностороннего треугольника как A, B и C, а центр окружности - O. Так как треугольник равносторонний, то радиус окружности равен расстоянию от центра O до любой из вершин треугольника.

Пусть P - произвольная точка на окружности. Тогда расстояние от точки P до вершины A можно представить как отрезок AP, а расстояние от точки P до вершины B можно представить как отрезок BP.

Так как треугольник ABC равносторонний, то треугольник ABP - тоже равносторонний (так как AB = AP = BP). Таким образом, угол ABP равен 60 градусов.

Рассмотрим треугольник AOP. Поскольку угол AOP равен 60 градусов (он опирается на дугу, которая равна 120 градусам), то треугольник AOP также равносторонний. Значит, отрезок AP равен отрезку OP.

Аналогично, рассмотрев треугольник BOP, мы получаем, что отрезок BP равен отрезку OP.

Таким образом, расстояние от точки P до вершины A равно расстоянию от точки P до центра окружности O, и аналогично для расстояния от точки P до вершины B. Следовательно, расстояние от точки P до вершины A плюс расстояние от точки P до вершины B равно расстоянию от точки P до центра О.

Таким образом, мы доказали, что расстояние от всякой точки окружности, описанной около равностороннего треугольника, до одной из его вершин равно сумме расстояний от этой точки до двух других вершин.