Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведены
высота CH, биссектриса CK и медиана CM. Известно, что HK = 3 и
KM = 5. Найдите стороны треугольника ABC и длину биссектрисы CK.
Заранее спасибо.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем стороны треугольника ABC. Обозначим BC = a, AC = b, AB = c. Так как высота CH перпендикулярна основанию AB, то треугольник ABC разбивается на два прямоугольных треугольника: CHB и AHC.

В прямоугольном треугольнике CHB применяем теорему Пифагора:
a^2 = HC^2 + BC^2
a^2 = x^2 + 9 (1)

В прямоугольном треугольнике AHC применяем теорему Пифагора:
b^2 = HC^2 + AC^2
b^2 = x^2 + 16 (2)

Теперь запишем выражение для медианы CM через стороны треугольника:
c^2 = 2a^2 + 2b^2 - m^2
c^2 = 2a^2 + 2b^2 - 25 (3)

Так как KM = 5 и KM является половиной медианы, то m = 10.

Подставляем выражения (1) и (2) в (3) и подставляем m = 10:
c^2 = 2(x^2 + 9) + 2(x^2 + 16) - 100
c^2 = 4x^2 + 50

Теперь воспользуемся теоремой косинусов для нахождения биссектрисы CK:
cos(C) = CK / c
cos(C) = CK / sqrt(4x^2 + 50)
CK = sqrt(4x^2 + 50) * cos(C)

Дано, что HK = 3, поэтому tan(C) = 3 / x
cos(C) = 1 / sqrt(1 + tan^2(C)) = 1 / sqrt(1 + 9/x^2)
CK = sqrt(4x^2 + 50) * 1 / sqrt(1 + 9/x^2)
CK = sqrt((4x^2 + 50) / (1 + 9/x^2))

Таким образом, стороны треугольника ABC равны a = sqrt(x^2 + 9), b = sqrt(x^2 + 16), c = sqrt(4x^2 + 50), биссектриса CK = sqrt((4x^2 + 50) / (1 + 9/x^2)).

Осталось найти значение x, для этого можно воспользоваться системой уравнений, используя, к примеру, уравнения (1) и (2). Например, из (1) выразим x: x = sqrt(a^2 - 9), подставим это значение в уравнение (2), получим уравнение относительно b. Решив это уравнение, найдем значение b, а затем найдем значение с и CK.