Отношения радиуса описанной около прямоугольного треугольника к радиусу вписанной окружности равно 5:2 .Найдите отношения меньшего катета к большому

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, а с - гипотенуза.

Так как отношение радиуса описанной около треугольника окружности к радиусу вписанной окружности равно 5:2, имеем:

(\frac{R}{r} = \frac{5}{2}),

где R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности.

Известно, что радиус описанной окружности равен половине гипотенузы (R = c/2), а радиус вписанной окружности равен половине суммы катетов (r = (a + b - c)/2).

Подставляя данные в уравнение:

(\frac{\frac{c}{2}}{\frac{a+b-c}{2}} = \frac{5}{2},)

(\frac{c}{a+b-c} = \frac{5}{2}.)

Учитывая, что a^2 + b^2 = c^2, подставляем c = sqrt(a^2 + b^2) в уравнение:

(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a+b-\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{5}{2},)

решая уравнение, получим:

(4a = b.)

Ответ: отношение меньшего катета к большему равно 1:4.