У трикутнику ABC ∠B = 900 , ∠A = 300 . Вписане коло дотикається до сторони АВ у точці Р, а до сторони АС – у точці Q; M — середина сторони AC. Доведіть, що PM = PQ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано: ∠B = 90°, ∠A = 30°.

Оскільки вписане коло дотикається до сторони AB у точці P, то AP є бісектрисою кута A. Звідси випливає, що ∠BAP = ∠CAP = 15°.

Оскільки M - середина сторони AC, то AM = MC.

Розглянемо трикутник APC. У ньому кут CAP = 15°, CAP = 30°, тому кут CPA = 180° - 15° - 30° = 135°.

Оскільки ∠CPA = 135°, то ∠CMA = 45° (так як AM = MC).

Розглянемо тепер трикутник PCQ. У ньому CM - медіана, яка ділить сторону PQ у відношенні 1:1. Так як у трикутнику CPM кути CAP і CAM є внутрішніми кутами, то CPM = 2 CAM = 2 45° = 90°. Таким чином, кут CPM = 90°.

Отже, у трикутнику CPM прямий кут і сторона PM ділить сторону PQ у відношенні 1:1, що означає, що PM = PQ.