Точки X, Y выбраны на сторонах AB и AD соответственно выпуклого четырехугольника ABCD. Найдите отношение AX:BX, если известно, что CX║DA, DX║CB, BY║CD, CY║BA

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи следует, что четырехугольник ABCD - параллелограмм.
Так как CX║DA, то углы CXD и DAX равны между собой (по признаку угловой пары при пересекающихся прямых).
Таким образом, угол CXD также равен углу DAX.
Аналогично, угол BYC равен углу ABC.

Так как ABCD - параллелограмм, то углы ABC и CDA смежные и равны между собой.
Это значит, что углы ABC и CDA равны между собой, а значит, также равны углы BYC и CXD.

Из равенства углов CXD и DAX следует, что треугольники AXD и CXD подобны, так как углы при пропорциональных сторонах равны.
Поэтому отношение AX к DX равно отношению CD к CX.
По условию, CD равно BY, так как BY║CD, а CX равно BA, так как CY║BA.
Таким образом, AX:DX = BY:CX = BY:BA.

Далее, так как треугольники ABY и BCX подобны (по признаку угловой пары при параллельных прямых AB и BY, а также BC и CX),
отношение BY к BA равно отношению CX к BC. Это отношение равно BX к BC, так как BY║CD и BC = CD.

Итак, BX:BC = BY:BA. Но тогда, поделив обе части на BC, получим, что BX = BY:BA.
Таким образом, отношение AX к BX равно отношению BY к BA.

Итак, число АХ равно πусть нам скажете.