Две окружности c1, c2 проходят через центр O окружности c и соприкасаются с ним внутренним образом в точках A и B соответственно. Докажите, что на прямой AB лежит общая точка окружностей c1, c2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка X лежит на отрезке AB и является общей точкой окружностей c1 и c2.

Так как точка X принадлежит окружности c1, то угол OXA равен углу XAO (1).
Так как точка X принадлежит окружности c2, то угол OXB равен углу XBO (2).

Из формулы для центрального угла следует, что угол OXA = 2угол AOX и угол OXB = 2угол BOX.

Из равенств (1) и (2) следует, что углы AOX и BOX равны, а значит точка X действительно принадлежит прямой AB.

Таким образом, точка X обязательно лежит на прямой AB и является общей точкой окружностей c1 и c2.