В треугольнике АВС (АВ = ВС) проведены высоты BN и АМ, причем BN пересекает АМ в точке К. а) Докажите, что треугольники АМС и BNC подобны.б) Найдите коэффициент подобия указанных треугольников, если <ABC=120°.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Поскольку BN и АМ - высоты, то углы 90° в треугольниках АМС и BNC. Также, угол ABC = угол AMС и угол ACB = угол АСМ (как вертикальные углы). Следовательно, треугольники АМС и BNC подобны по углам.

б) Так как угол ABC = 120°, то угол AMС и угол BNC также равны 120° (потому что они вертикальные углы). Теперь можно найти коэффициент подобия треугольников.

Из суммы углов треугольника следует, что угол BNC = 180 - угол NBC - угол NCB. Учитывая, что угол ABC = 120° и ВНС = 90° (потому что BN и СВ - высоты), получаем, что NBC = 120 - 90 = 30. Аналогично, NCB = 30.

Теперь можно найти коэффициент подобия треугольников. Как было доказано, треугольники подобны по углам, а значит, их стороны будут пропорциональны.

Пусть коэффициент подобия равен х, тогда:

BN/AM = BC/AC = NC/MC = х.

Так как ВС = ВН, то BC = NC, а сторона AC у равнобедренного треугольника равна половине гипотенузы, то есть NC = 0.5*ВС.

В итоге, х = BN/AM = ВН/AM = 1/0.5 = 2.

Ответ: Коэффициент подобия треугольников АМС и BNC равен 2.