В равнобедренном треугольнике ABC точка P середина высоты опущенной на основание BC. прямая BP пересекает боковую сторону AC в точке M. докажите что CM=2AM

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим за H основание высоты, опущенной из вершины A на сторону BC.

Так как треугольник ABC - равнобедренный, то AM - медиана и высота, а следовательно, точка M - середина стороны AC.

Также заметим, что треугольник BPH подобен треугольнику ABC, так как угол BPH равен углу ABC (как вертикальный), угол PHB равен углу BAC (как вертикальный), а угол BPB равен углу BCA (как угол-при основание равнобедренного треугольника). Из этой подобности следует, что отношение сторон треугольников BP и BC равно отношению сторон PH и AC, то есть отношению AM и AB.

Так как AM и AB равны (так как AM и AB - медиана и основание равнобедренного треугольника, соответственно), то AM, AB, PH и BC находятся в одном и том же отношении, следовательно, PH равен половине стороны AC, что и требовалось доказать. Из этого следует, что точка M действительно является серединой стороны AC, а отрезок CM равен 2AM.