Дано куб ABCDA1B1C1D1. Точка K - средина стороны BC. Найдите угол между прямыми A1C и B1K
Ответ должен получиться arccos*корень*3/5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем векторы:

(\vec{A1C} = \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{A1B1} + \frac{1}{2}\vec{B1C1})

(\vec{B1K} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{B1C1})

Теперь найдем скалярное произведение векторов (\vec{A1C}) и (\vec{B1K):

(\vec{A1C} \cdot \vec{B1K} = (\vec{A1B1} + \frac{1}{2}\vec{B1C1}) \cdot \frac{1}{2}\vec{B1C1})

Так как скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними, то:

(\vec{A1C} \cdot \vec{B1K} = \frac{1}{4}|\vec{B1C1}|^2 \cdot \cos{\angle A1CB1} = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{1}{2} |\vec{AC}| \right)^2 \cdot \cos{\angle A1CB1})

(\vec{A1C} \cdot \vec{B1K} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot |AC|^2 \cdot \cos{\angle A1CB1} = \frac{1}{16} \cdot |AC|^2 \cdot \cos{\angle A1CB1})

Так как треугольник ABC является равносторонним, то |AC| = 2|BC|.

(\vec{A1C} \cdot \vec{B1K} = \frac{1}{16} \cdot 4 \cdot |BC|^2 \cdot \cos{\angle A1CB1})

(\vec{A1C} \cdot \vec{B1K} = \frac{1}{4} \cdot |BC|^2 \cdot \cos{\angle A1CB1})

Так как (\vec{A1C} \cdot \vec{B1K} = |A1C| \cdot |B1K| \cdot \cos{\angle A1CB1}), то:

(\angle A1CB1 = \arccos{\left( \frac{\vec{A1C} \cdot \vec{B1K}}{|A1C| \cdot |B1K|} \right)} = \arccos{\left( \frac{\frac{1}{4} \cdot |BC|^2 \cdot \cos{\angle A1CB1}}{\frac{1}{4} \cdot |BC| \cdot |BC|} \right)} = \arccos{\left( \frac{\cos{\angle A1CB1}}{|BC|} \right)})

Далее, так как треугольник ABC является прямоугольным, то (|BC| = \sqrt{3} \cdot |AC| = \sqrt{3} \cdot 2|BC| = 2\sqrt{3}|BC|).

Тогда (\angle A1CB1 = \arccos{\left( \frac{\cos{\angle A1CB1}}{2\sqrt{3}|BC|} \right)} = \arccos{\frac{1}{2\sqrt{3}}} = \arccos{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \arccos{\frac{\sqrt{3}}{6}} = \arccos{\frac{\sqrt{3}}{5}})

Поэтому угол между прямыми A1C и B1K равен arccos((\frac{\sqrt{3}}{5})).