В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E, F, M - середины ребер АA₁, AB, СС₁. Найти угол между плоскостями EFD i A₁D₁M. Прямоугольная система введена таким образом, что начало координат находится в точке D, a положительные направления осей ОХ, OY, OZ ребра DA, DC, DD₁, AA₁ = 1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты точек E, F, M.

Точка E - середина ребра AA₁. Координаты точек A и A₁ равны (0, 1, 0) и (0, 0, 0) соответственно. Тогда координаты точки E будут (0, 0.5, 0).

Точка F - середина ребра AB. Так как координаты точек A и B не даны, предположим, что точка B имеет координаты (1, 0, 0). Тогда координаты точки F будут (0.5, 0.5, 0).

Точка M - середина ребра CC₁. Так как координаты точек С и C₁ не даны, предположим, что точка C имеет координаты (0, 1, 1). Тогда координаты точки M будут (0, 1, 0.5).

Теперь найдем векторы EF и AM:

Вектор EF = F - E = <0.5, 0, 0> - <0, 0.5, 0> = <0.5, -0.5, 0>
Вектор AM = M - A₁ = <0, 1, 0.5> - <0, 0, 0> = <0, 1, 0.5>

Теперь найдем угол между векторами EF и AM. Для этого воспользуемся формулой cos(θ) = (EF AM) / (|EF| |AM|), где * обозначает скалярное произведение векторов, |EF| и |AM| - длины векторов EF и AM соответственно.

EF AM = 0.50 + (-0.5)1 + 00.5 = -0.5
|EF| = sqrt(0.5^2 + (-0.5)^2 + 0^2) = sqrt(0.5)
|AM| = sqrt(0^2 + 1^2 + 0.5^2) = sqrt(1 + 0.25)

cos(θ) = -0.5 / (sqrt(0.5) * sqrt(1.25)) = -0.5 / sqrt(0.625) = -0.8

Итак, угол между плоскостями EFD и A₁D₁M равен arccos(-0.8) ≈ 143.13 градусов.