Медианы, проведенные из вершин A и B треугольника ABC, перпендикулярны друг другу. Найдите площадь квадрата со стороной AB, если BC=28, AC=44

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте обозначим через D точку пересечения медиан треугольника ABC. Так как медианы перпендикулярны друг другу, то треугольник ADB - прямоугольный.

Из прямоугольного треугольника ADB мы можем найти стороны AD и BD. Пусть AD = x, а BD = y.

Так как точка D - точка пересечения медиан, то BD = 2/3 CD, а значит y = 2/3 (28 - x) = 2/3 28 - 2/3 x = 2/3 (28 - x) = 2/3 28 - 2/3 * x.

Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы, поэтому x^2 + y^2 = AB^2

Подставляем выражение для y в данное уравнение:

x^2 + (2/3 28 - 2/3x)^2 = AB^2
x^2 + 4/9 28^2 - 4/21 28x + 4/9 x^2 = AB^2
x^2 + 448/9 - 128/3x + 28/3 x^2 = AB^2
9x^2 + 448 - 384x + 84x^2 = 9 AB^2
93x^2 - 384x + 448 = 9 * AB^2

Теперь составим уравнение для площади квадрата со стороной AB:

Площадь квадрата = AB^2
AB^2 = (93x^2 - 384x + 448) / 9

Для того чтобы найти площадь квадрата, нужно найти значение x. Сделать это можно путем решения системы уравнений для медиан и уравнения x^2 + y^2 = AB^2.