4. В параллелограмме АВСD ∠B = 120°, АВ = 12, AD = 18. Биссектриса угла B параллелограмма пересекает диагональ АС в точке К, а сторону АD в точке М. Найдите длины отрезков BК и KМ

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длины сторон параллелограмма ABCD. Так как ABCD - параллелограмм, то AB = CD и AD = BC. Также, углы B и C - смежные, следовательно, ∠C = 180° - ∠B = 180° - 120° = 60°.

Используя тригонометрию, найдем длину стороны BC:
BC = AB = 12.

Теперь найдем длину диагонали AC:
AC = sqrt(AB^2 + BC^2) = sqrt(12^2 + 18^2) = sqrt(144 + 324) = sqrt(468) = 6*sqrt(13).

Так как биссектриса угла B является медианой треугольника ABC, она делит диагональ AC пополам, то есть BK = KC = AC / 2 = (6sqrt(13))/2 = 3sqrt(13).

Теперь найдем длину отрезка KM. Для этого воспользуемся теоремой синусов в треугольнике ABM:
sin(∠AMB) / AM = sin(∠MAB) / AB.

sin(120) / 18 = sin(60) / AM,
√3 / 18 = √3 / AM,
AM = 18.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AKM, где AK = 3sqrt(13), AM = 18. Найдем длину отрезка KM:
KM = sqrt(AK^2 - AM^2) = sqrt((3sqrt(13))^2 - 18^2) = sqrt(117 - 324) = sqrt(-207).

Так как значение под корнем отрицательное, ответом на задачу будет: BК = 3*sqrt(13), КМ = sqrt(-207).