Задание 1.
Точка K удалена от каждой из вершин квадрата ABCD, сторона которого равна 6√2, на расстояние, равное 10.
1. Докажите, что основание перпендикуляра, опущенного из точки K на плоскость квадрата, совпадает с центром квадрата.
2. Найдите расстояние от точки K до плоскости квадрата.
Задание 2.
Точка M удалена от плоскости равнобедренного ABC на 1 см и на одинаковое расстояние от каждой из сторон этого треугольника. Зная, что AB = BC = 3√2 и AC = 2√2, найти в градусах угол наклона прямой MC к плоскости треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Задание 1.

Пусть точка K удалена от вершины A на расстояние 10 единиц и опустим перпендикуляр из точки K на плоскость квадрата. Пусть O - центр квадрата. Так как каждая из сторон квадрата равна 6√2, то радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине длины стороны квадрата, т.е. 3√2. Поскольку точка K находится на расстоянии 10 от вершины A, перпендикуляр из точки K к плоскости квадрата пересекает сторону AD квадрата в точке, находящейся на расстоянии 10 - 3√2 = 3,14 единиц от вершины A.
Таким образом, перпендикуляр из точки K проходит через центр квадрата O.

Чтобы найти расстояние от точки K до плоскости квадрата, можем воспользоваться расстоянием между точкой и плоскостью:
d = |AK| - 3√2 = 10 - 3√2 ≈ 7,07 единиц.

Задание 2.
Пусть точка M находится на расстоянии 1 см от плоскости треугольника ABC и на равном расстоянии от каждой из сторон треугольника. Проведем высоту треугольника ABC из вершины C на сторону AB. Так как треугольник ABC - равнобедренный, то высота, проведенная из вершины C, делит эту сторону на две равные части. Обозначим точку пересечения высоты с стороной AB как N.
Таким образом, точка M находится на расстоянии 1 см от точки N и также на равном расстоянии от стороны AB, т.е. на расстоянии 1 см. По условию AB = BC = 3√2, следовательно AN = NB = 3√2/2 = 1,5√2.
Так как AM = 1 см, то MN = 1,5√2 - 1 см = 0,5√2 см.
Итак, угол наклона прямой MC к плоскости треугольника равен углу, образованному прямыми CN и МN. По теореме Пифагора:
CM² = CN² + MN²
CM² = (1,5√2)² + (0,5√2)²
CM² = 2,252 + 0,252
CM² = 4,5 + 0,5
CM² = 5
CM = √5 см
Так как треугольник CMN прямоугольный, то tg(угла MCN) = MN/CN = 0.5√2 / 1.5√2 = 1/3
Отсюда, угол наклона прямой MC к плоскости треугольника равен arctg(1/3) ≈ 18,43°.