В четырёхугольнике ABCD угол DAB,диагонали AC и BD образуют со стороной AB равные углы,AD=3 см,AC=4 см,CD=5 см. Найдите BD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

По теореме косинусов в треугольнике ACD:

AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2ADCD*cos(∠D);

16 = 9 + 25 - 30cos(∠D);
6cos(∠D) = 18;
cos(∠D) = 3;
∠D = arccos(3).

По условию, угол DAB равен углу BAD, поэтому ∠DAB = ∠B/2.
Так как диагонали образуют со стороной равные углы, ∠ADP = ∠B/2.

Сначала найдем угол PAD. Используем теорему косинусов в треугольнике ACD:

AC^2 = AP^2 + AD^2 - 2APADcos(∠D);
16 = AP^2 + 9 - 6AP;
AP^2 - 6*AP + 7 = 0;
(AP - 1)(AP - 7) = 0;
AP = 7 или AP = 1.

Так как AP < AD, то AP = 1.

Далее, находим углы PAD и PAB по теореме синусов в треугольнике APD и ABP:

sin(∠PAD) = ADsin(∠D) / AP = 3sin(arccos(3));
sin(∠PAD) = ADsin(arccos(3)) / AP = 3 * sqrt(1 - 3^2) / 1 = -3sqrt(1 - 9);
∠PAD = arcsin(-3sqrt(1 - 9)).

Теперь находим угол PAB:

sin(∠PAB) = AB*sin(∠B) / AP = 3sin(∠B);
sin(∠PAB) = 3sin(arccos(3));
∠PAB = arcsin(3sin(arccos(3))).

Итак, у нас есть углы PAD и PAB. Теперь можем найти угол ADP и BD:

∠ADP = ∠PAD + ∠PAB.

Наконец, можем найти диагональ BD по теореме косинусов в треугольнике ABD:

BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2ABADcos(∠ADP);
BD = sqrt(AB^2 + 9 - 2AB3cos(∠ADP));