Дан прямоугольный треугольник. На его гипотенузе найти такую точку, для которой расстояние между её проекциями на катеты является наименьшим.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти такую точку на гипотенузе, обозначим катеты треугольника как a и b, а гипотенузу как c. Пусть точка M на гипотенузе имеет координату x от вершины прямого угла. Тогда проекции точки M на катеты будут иметь координаты (x, 0) и (0, x).

Расстояние между проекциями точки M на катеты может быть найдено с помощью теоремы Пифагора для треугольника, образованного этими проекциями и точкой M. Обозначим это расстояние как d.

d = √(x^2 + x^2) = √(2x^2) = x√2

Нам нужно найти такое значение x, при котором d будет минимальным. Для этого возьмем производную d по x и приравняем ее к нулю:

d' = √2, x = 0.

Таким образом, минимальное расстояние между проекциями точки на катеты будет равно 0, что означает, что точка M совпадает с вершиной прямого угла.