В трапеции ABCD боковая сторона AB равна диагоналиBD.Точка M середина диагонали AC. Прямая BM пересекает отрезок CDв точке E . Докажите, что BE=CE.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Поскольку боковая сторона AB трапеции равна диагонали BD, то треугольник ABD равнобедренный (AB = BD) и у него равны углы A и B.

Так как точка M - середина диагонали AC, то AM = MC. Также, по свойству средней линии треугольника, отношение длин отрезков, соединяющих точку M с вершинами треугольника, равно 1:2. То есть, AM/MC = 1/2.

Так как AM = MC и AM/MC = 1/2, то AM = 1/3 AC и MC = 2/3 AC.

Теперь проведем прямую BM, пересекающую отрезок CD в точке E. Так как BM - медиана треугольника ABC, то отрезок CE равен 2/3 CD (вторая часть диагонали делится медианой в отношении 2:1).

Итак, у нас получилось, что CE = 2/3 CD. Однако мы знаем, что AC = AB + BD (так как в треугольнике ABD диагональ BD равна боковой стороне AB). Из этого следует, что 3/3 AC = AB + BD = AB + DE + EC (так как CD = DE + EC).

Таким образом, 3/3 AC = AB + DE + CE, откуда CE = AB + DE = BE.

Таким образом, мы доказали, что BE = CE.