На плоскости изображена окружность радиуса 2000. Найдите ГМТ M, для каждой из которых расстояние до ближайшей к M точки окружности равно 1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть M(x, y) - координаты точки M. Тогда расстояние от точки M до окружности равно |√(x^2 + y^2) - 2000|.

Так как расстояние от точки M до ближайшей к ней точки окружности равно 1, то |√(x^2 + y^2) - 2000| = 1.

Рассмотрим два случая:

Если √(x^2 + y^2) < 2000, тогда |√(x^2 + y^2) - 2000| = 2000 - √(x^2 + y^2) = 1. Отсюда получаем √(x^2 + y^2) = 1999.Если √(x^2 + y^2) > 2000, тогда |√(x^2 + y^2) - 2000| = √(x^2 + y^2) - 2000 = 1. Отсюда получаем √(x^2 + y^2) = 2001.

Итак, у нас два уравнения: √(x^2 + y^2) = 1999 и √(x^2 + y^2) = 2001.

Решая эти уравнения, мы получаем две пары координат для точки M:

M(0, 1999) и M(0, -1999)M(0, 2001) и M(0, -2001)

Таким образом, найденные точки M удовлетворяют условию задачи.