Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O, причём угол BOA = углу COD = 60°. Перпендикуляр BK, опущенный из вершины В на сторону AD, равен 6. Сторона BC в три раза меньше стороны AD. Найти площадь треугольника COD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку угол BOA = 60°, угол BOC = 120°, так как угол в центре равен удвоенному углу, опирающемуся на дугу. Таким образом, треугольник BOC – равносторонний, так как все его стороны равны. Тогда BC = BO = OC.

Поскольку сторона BC в три раза меньше стороны AD, имеем BO = OC = 6, AD = 3 BC. То есть AD = 3 6 = 18.

В треугольнике BOK применяем теорему Пифагора: BK^2 + OK^2 = BO^2
6^2 + OK^2 = 6^2
OK^2 = 0
OK = 0

Таким образом, треугольник BOK вырожденный и BC совпадает с AD.

Поскольку угол BOA = углу COD = 60°, треугольники AOB и COD подобны. Площадь подобных треугольников пропорциональна квадратам их сторон:

S_cod/s_aob = CO^2/AO^2
S_cod/(18^2) = (6^2)/(18^2)
S_cod = 1/9 18^2 = 1/9 324 = 36.

Ответ: S_cod = 36.