На стороне ВС остроугольного треугольника АВС как на диаметре построена полуокружность, пересекаются высоту АD в точке М, АD=75, MD=60, H-точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите HD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи следует, что треугольник AMB является прямоугольным, так как он лежит на диаметре полуокружности.

Так как MD = 60, а AD = 75, то AM = AD - MD = 75 - 60 = 15.

Так как угол AMB = 90 градусов, то по определению высоты прямоугольного треугольника AMB выполнено следующее соотношение:

AM^2 + BM^2 = AB^2.

Подставляем известные значения и получаем:

15^2 + BM^2 = AB^2,
225 + BM^2 = AB^2.

Так как BD является высотой треугольника ABC, то AB^2 = BD^2 + AD^2. Подставляем известные значения и получаем:

225 + BM^2 = BD^2 + 75^2,
BM^2 = BD^2 + 5625 - 225,
BM^2 = BD^2 + 5400.

Так как треугольник BHD является подобным треугольнику CAM, то выполнено следующее соотношение:

HD / BM = BD / AM.

Подставляем известные значения и получаем:

HD / 15 = BD / 15,
HD = BD.

Так как BM^2 = BD^2 + 5400, а HD = BD, то имеем:

BM^2 = HD^2 + 5400,
15^2 = HD^2 + 5400,
HD^2 = 225 - 5400,
HD^2 = -5175.

Поскольку HD – это длина, она не может быть отрицательной, значит в задаче допущена ошибка.