Два бе­гу­на од­но­вре­мен­но стар­то­ва­ли в одном на­прав­ле­нии из од­но­го и того же места кру­го­вой трас­сы в беге на не­сколь­ко кругов. Спу­стя один час, когда од­но­му из них оста­ва­лось 3 км до окон­ча­ния пер­во­го круга, ему сообщили, что вто­рой бегун прошёл пер­вый круг 9 минут назад. Най­ди­те ско­рость пер­во­го бегуна, если известно, что она на 6 км/ч мень­ше ско­ро­сти второго.
Из­вест­но, что гра­фи­ки функ­ций y=-x2+p и y=4x+5 имеют ровно одну общую точку. Опре­де­ли­те ко­ор­ди­на­ты этой точки. По­строй­те гра­фи­ки за­дан­ных функ­ций в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.
Прямая, па­рал­лель­ная основаниям AD и BC тра­пе­ции ABCD , про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния диагоналей тра­пе­ции и пе­ре­се­ка­ет ее бо­ко­вые стороны AB и CD в точ­ках E и F соответственно. Най­ди­те длину от­рез­ка EF, если AD=10, BC=15.
Точка E — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны AB тра­пе­ции ABCD. Докажите, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ECD равна по­ло­ви­не пло­ща­ди трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть скорость второго бегуна равна V км/ч. Тогда скорость первого бегуна будет V-6 км/ч.
Пусть время, за которое первый бегун пройдет один круг, равно t часов.
Тогда расстояние одного круга равно Vt км.
За 1 час первый бегун пробежит Vt км, и останется пробежать 3 км до финиша первого круга.
Значит, после одного часа он пробежит (V*t-3) км.

С учетом того, что второй бегун 9 минут назад закончил первый круг, он пробежал V (t-0,15) км за час.
Таким образом, получаем уравнение:
V (t-0,15) = V*t - 3.
Решив это уравнение, найдем V = 12 км/ч.

Для того чтобы найти общую точку графиков функций y=-x^2+p и y=4x+5, необходимо приравнять их друг к другу:
-x^2 + p = 4x + 5.
Решив это уравнение, найдем x = -1 и y = 1.
Таким образом, общая точка графиков функций y=-x^2+p и y=4x+5 равна (-1, 1).

Пусть AE = x и EF = y.
Так как E - середина AB, то EB = x.
Из подобия треугольников ADE и BEF, получаем что EF = 2x.
Также из подобия треугольников ACD и CEF, получаем что EF = 2y.
Из данных условий имеем систему уравнений:
x + y = 10,
2x + 2y = 15.
Решив эту систему уравнений, найдем x = 5 и y = 5.
Таким образом, длина EF равна 5.

Пусть AB = a, CD = b. Тогда EC = a / 2, ED = b - a / 2.
Площадь треугольника ECD равна:
S_ECD = 0.5 b h, где h - высота треугольника ECD.
Из подобия треугольников ADC и ECD, получаем:
h / (b - a/2) = a / b,
h = a(b-a/2) / b.
Таким образом, S_ECD = 0.5 b a(b-a/2) / b = 0.5 a(b-a/2) = 0.5 S_ABCD.
Доказано.