Через середину K гипотинузы AB прямоугольного треугольника ABC проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет AC в точке D, а другая- катет BC в точке E. Найдите отрезок DE, если AB=12 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку прямые DE и CE параллельны, то треугольник ABC подобен треугольнику CDE.

Так как мы знаем, что прямые DE и CE параллельны катетам треугольника ABC, то отношение сторон в обоих треугольниках одинаковое:

DC/DA = EC/EA = DE/AB

Заметим, что DC = AC - AD, а EC = BC - BE. Следовательно:

(AC - AD) / AC = (BC - BE) / BC = DE / AB

Так как AD = BE = x, то:

(AC - x) / AC = (BC - x) / BC = DE / 12

Поскольку треугольник прямоугольный, то AC и BC являются катетами, следовательно AC = BC. Обозначим AC = BC = a. Получаем:

(a - x) / a = (a - x) / a = DE / 12

(a - x) / a = DE / 12

DE = 12(a - x) / a

Поскольку треугольник подобен, то a / 12 = 12 / (a - x).

Отсюда получаем:

a^2 - 12x = 144

Так как треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора AC^2 + BC^2 = AB^2. Так как AC = BC = a, то это равенство можно записать как:

2a^2 = 12^2

a^2 = 72

Подставляем a^2 = 72 в уравнение a^2 - 12x = 144:

72 - 12x = 144

12x = 72

x = 6

Так как DE = 12(a - x) / a, и a = √72, то:

DE = 12(√72 - 6) / √72

DE = 12(6√2 - 6) / √72

DE = 12 * 6(√2 - 1) / 6√2

DE = 12(√2 - 1)

DE ≈ 7.493 см

Отрезок DE равен примерно 7.493 см.