Основанием правильной треугольной пирамиды MABC служит треугольник ABC со стороной 6. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и серeдины рёбер AC и BC проведена плоскость α.
а ) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α является равносторонним треугольником.
б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости α.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Поскольку MA перпендикулярно грани MBC, то угол AMB является прямым. Также, поскольку AM является высотой треугольника ABC, то AM делит треугольник ABC на два равнобедренных треугольника.

Поскольку AMB прямоугольный и AM является высотой, то треугольник AMB равнобедренный. Значит, AM = MB. Также, по условию, сторона треугольника ABC равна 6, следовательно, MB = MC = 3.

Теперь рассмотрим треугольник MCA. Мы знаем, что MC = 3, AM = MA = x (так как AM = MB), значит AC = 2x. То же самое касается треугольника MCB.

Таким образом, проведя плоскость alpha через вершину M и середины сторон AC и BC, получим равносторонний треугольник - все его стороны равны 2x, то есть равным 2 * MA.

б) Расстояние от точки до плоскости можно найти как прямое расстояние от точки до плоскости, которое определяется как расстояние от точки до её проекции на плоскость.

Проекция точки C на плоскость alpha - это середина стороны AB треугольника ABC. Так как AB = 6, то расстояние от точки C до плоскости alpha равно половине стороны AB, то есть 3.