Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки, в которых вневписанная окружность касается прямых, содержащих стороны треугольника, пересекаются в одной точке

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения обратим внимание на рисунок.

Пусть у нас есть треугольник ABC и вписанная окружность, касающаяся стороны AC в точке D, стороны AB в точке E и стороны BC в точке F.

Точки пересечения прямых, проходящих через вершины треугольника и точки касания вневписанной окружности, обозначим как X, Y, Z (X - точка пересечения прямых, проходящих через вершины A и D, Y - прямых, проходящих через вершины B и E, и Z - прямых, проходящих через вершины C и F).

Заметим, что точки X, Y, Z являются точками пересечения вписанной окружности с отрезками, соединяющими вершины треугольника с точками касания вневписанных окружностей, а значит, они лежат на одной прямой – линии Симсона.

Следовательно, точки X, Y, Z пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.