Угол при основании боковой трапеции 60 градусов.Боковая сторона равна 11 см и перпендикулярна к одной из диагоналей.Найдите периметр трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи мы знаем, что угол при основании боковой трапеции равен 60 градусов. Также дано, что боковая сторона равна 11 см и перпендикулярна к одной из диагоналей.

Обозначим основания трапеции как a и b, а диагонали трапеции как d1 и d2.

Из свойств трапеции знаем, что диагонали трапеции делят ее на 4 равные треугольника. Таким образом у нас образованы два равнобедренных треугольника с углами 60, 60 и 60 градусов.

Так как боковая сторона перпендикулярна к одной из диагоналей, то у нас образовался прямоугольный треугольник, в котором известна катет – боковая сторона треугольника и один из острых углов – 60 градусов. Нам нужно найти гипотенузу этого треугольника.

Таким образом, мы знаем, что tg(60) = 11/d1.

Так как tg(60) = √3, то 11 = √3*d1, следовательно d1 = 11/√3.

Так как диагонали в равнобедренном треугольнике равны, то d1 = d2, и d2 = 11/√3.

Теперь найдем основания трапеции. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике со сторонами a, b и биссектрисой угла между основаниями трапеции, которая равна диагонали d1:

d1^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(60).

Известно, что d1 = 11/√3 => (11/√3)^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(60) => 121/3 = a^2 + b^2 - ab.

Так как стороны a и b и диагонали d1 и d2 образуют равнобедренный треугольник, то a = b, и у нас получается уравнение

121/3 = 2*a^2 - a^2 => 121/3 = a^2 => a = √(121/3) = 5.

Таким образом, длина одного из оснований трапеции равна 5 см. Следовательно, периметр трапеции равен P = a + b + 2d1 = 5 + 5 + 2(11/√3) = 10 + 22/√3 ≈ 21,30 см.