Точка М-середина стороны АВ треугольника АВС. На отрезки СМ выбраны точки Р и Q так, что Q=2РМ. Окозалось, что угол АРМ=90°. Докажите, что ВQ=АС

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике АРМ:

AM^2 + RM^2 = AR^2
AM^2 + (\frac{1}{2}CM)^2 = AR^2
AM^2 + \frac{1}{4}CM^2 = AR^2

Так как точка М является серединой стороны AB, то AM = MB. Также, так как угол АРМ = 90°, то треугольник АРМ - прямоугольный. Поэтому, применяя теорему Пифагора к треугольнику АМВ, получаем:

AM^2 + MB^2 = AB^2
AM^2 + AM^2 = AB^2
2AM^2 = AB^2

Отсюда, AM = \frac{AB}{\sqrt{2}}

Подставляем значение AM в уравнение для треугольника АРМ:

(\frac{AB}{\sqrt{2}})^2 + \frac{1}{4}CM^2 = AR^2
\frac{AB^2}{2} + \frac{1}{4}CM^2 = AR^2

Так как АР = АС, то можно записать:

\frac{AB^2}{2} + \frac{1}{4}CM^2 = AC^2

Теперь рассмотрим треугольник ВQC. По условию, QC = 2CM. Так как Q = 2M, то треугольник ВQC является подобным треугольнику АСМ. Следовательно, можно записать:

\frac{BQ}{AB} = \frac{QC}{AC}
\frac{BQ}{AB} = \frac{2CM}{AC}
\frac{BQ}{AB} = \frac{2}{\sqrt{2}}
BQ = AB

Таким образом, BQ = AC.