Задача на применение теоремы Менелая.Прямая KP делит сторону AB треугольника ABC в отношении AK:KB=2:1, а сторону BC - в отношении BP:PC=3:1. Медиана BB1 пересекает прямую KP в точке M. При этом площадь четырёхугольника B1MPC равна 17. Найдите площадь треугольника ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины отрезков как AK = 2x, KB = x, BP = 3y, PC = y. Тогда AB = 3x, BC = 4y.

Так как прямая KP параллельна стороне AC треугольника ABC, то из теоремы Менелая для треугольника ABC и прямой KP, проложенной через точку M, получаем:
BM PC AK + MC BP AK = MP BC AK

BM y 2x + (3y - BM) 3y 2x = (3/4) 3x 2x
2x (2xy + 6y^2 - BM * y) = 3x^2
4xy + 12y^2 - 2xy^2 = 3x^2
4y(3x - y) = 3x^2

Также, из задачи известно, что площадь четырехугольника B1MPC равна 17:
S(B1MPC) = (1/2) BM PC sin(B1PC) = 17
BM y sin(BPC) = 34
BM y sin(180 - BPC) = 34
BM y sin(BPB1) = 34
BM y (BP / BP1) = 34
BM y (3y / (y + 2y)) = 34
BM y (3 / 4) = 34
BM 3y = 136
BM = 136 / 3

Теперь можем найти площадь треугольника ABC, используя формулу:
S(ABC) = (1/2) AB BM
S(ABC) = (1/2) 3x (136 / 3)
S(ABC) = 68 * x

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 68x.