Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке К. основание ВС в 2 раза меньше АD. точка М середина ВС. отрезок АМ пересекает ВD в точке L. отрезок DМ пересекает АС в точке N. Найти Площадь KLMN, если площадь ABCD=90

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь ABCD = 90
Так как основание ВС в 2 раза меньше АD, то пусть BD = x, тогда BC = 2x и AD = 4x.
Также известно, что М - середина ВС, следовательно, BM = MC = x.
Точка М является серединой отрезка ВС, поэтому ВМ = МС.
Так как BC = 2x, то ВК = KC = x.
Теперь найдем площадь трапеции ABCD:
90 = (AD + BC) h / 2 = (4x + 2x) h / 2 = 3x h
Отсюда h = 30 / x.
Теперь нужно найти длину отрезков АМ и DМ.
Воспользуемся теоремой Талеса: BL / LD = AM / MD
BL = 2/3 BD = 2/3 x, LD = 1/3 BD = 1/3 x
AM = BD - BL = x - 2/3 x = 1/3 x
Точно таким же образом найдем DN:
DN = AD - DM = 4x - MC = 4x - x = 3x
Теперь найдем площадь треугольников KLM и KMN:
SKLM = (BM + BL) h / 2 = (x + 2/3 x) (30 / x) / 2 = 50
SKMN = (DN + DM) h / 2 = (3x + x) (30 / x) / 2 = 60
Итак, площадь четырехугольника KLMN равна сумме площадей треугольников KLM и KMN, то есть
SKLMN = SKLM + SKMN = 50 + 60 = 110.