В четырёх уголнике ABCD AB CD BC AD O точка перисечения диоганалей .Периметр угла AOD равен 25 см, AC равен 16см, BDравен 14см.Найдите величину BC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через $x$ длину отрезка $BC$. Поскольку $AC$ и $BD$ - диагонали четырёхугольника $ABCD$, точка $O$ - их пересечение, делит каждую из них пополам. Значит, $AO = \frac{1}{2}AC = 8$ см и $BO = \frac{1}{2}BD = 7$ см.

Так как $AO = DO$, а $BO = CO$, треугольник ABO равнобедренный, то есть $\angle OAB = \angle OBA$. Обозначим этот угол за $\alpha$. Тогда треугольник OBC также равнобедренный, а значит угол BOC = 2$\alpha$.

Из уравнения периметра известно, что $AO + OD + AD = 25$. С учётом равенства $AO = DO$ и разложения отрезка AD на две части, получим:
$2AO + \frac{BD}{\cos{\alpha}} = 25$,
$16\cos{\alpha} + 14 = 25$,
$\cos{\alpha} = \frac{11}{16}$.

Таким образом, $\sin{\alpha} = \sqrt{1 - \cos^2{\alpha}} = \frac{5}{16}$. В треугольнике OBC:
$\frac{BO}{\sin{\alpha}} = \frac{BC}{\sin{2\alpha}}$,
$7\cdot 16 = x\cdot \frac{2\cdot 5}{16}$,
$x \approx 14$ см.