Медианы ВМ и СК в треугольнике АВС пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники СОВ и КОМ подобны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что медианы треугольника делят их на две равные части, а именно в отношении 2:1. Таким образом, мы можем записать:
MO:OV = 1:2
TO:OV = 1:2

Теперь рассмотрим треугольник СОВ и его высоту, проведенную из вершины О на сторону СВ. Обозначим точку пересечения этой высоты с стороной СВ за М. Тогда, так как МО:OV = 1:2, то можно записать, что МО = 1/3 * СО.

Аналогично рассмотрим треугольник КОМ и его высоту, проведенную из вершины О на сторону КМ. Обозначим точку пересечения этой высоты с стороной КМ за Т. Тогда, так как ТО:OV = 1:2, то можно записать, что ТО = 1/3 * КО.

Таким образом, мы видим, что отношения стороны, принадлежащей катету прямоугольного треугольника к гипотенузе в двух подобных треугольниках равны. Следовательно, треугольники СОВ и КОМ подобны.