в треуг АВС с прямым углом В провед биссектриса CD найти гипотенузу АС если CD=6 BD=3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике $BCD$. Так как $BD = 3$ и $CD = 6$, то $BC = \sqrt{CD^2 - BD^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.

Так как $CD$ является биссектрисой угла $C$, то треугольник $BCD$ является прямоугольным, значит по теореме Пифагора в треугольнике $BCD$:
$$
AC^2 = AB^2 + BC^2
$$

Так как угол $A$ является прямым, то $AC$ - это гипотенуза треугольника $ABC$. Так как $BC$ мы уже нашли, осталось найти $AB$.

Так как $BD$ является биссектрисой угла $B$, то $\angle ABD = \angle DBC$. Обозначим $AB = x$. Тогда мы можем записать два уравнения:
$$
\begin{cases}
\sin{\angle DBC} = \sin{\angle ABD}\
\frac{BD}{AB} = \frac{BC}{CD}
\end{cases}
$$

Из первого уравнения следует, что:
$$
\frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{x}
\Rightarrow
\frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{3}{6}
\Rightarrow
x = \sqrt{3}
$$

Теперь мы можем найти:
$$
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 27} = \sqrt{30}
$$

Итак, гипотенуза треугольника $ABC$, $AC$, равна $\sqrt{30}$.