Лежат ли точки a(3, -2, -4) b(-1,-2,7) c(0,-1,0) d(5,-4,-1) в одной плоскости? ответ необходимо обосновать

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы определить, лежат ли данные точки на одной плоскости, можно воспользоваться уравнением плоскости.

Уравнение плоскости задается в виде: Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - координаты вектора нормали к плоскости.

Для начала найдем векторы AB и AC, чтобы определить вектор нормали к плоскости, проходящей через точки A, B и C.

AB = b - a = (-1, -2, 7) - (3, -2, -4) = (-4, 0, 11)
AC = c - a = (0, -1, 0) - (3, -2, -4) = (-3, 1, 4)

Теперь найдем векторное произведение векторов AB и AC, чтобы найти нормаль к плоскости:
n = AB x AC = (-4, 0, 11) x (-3, 1, 4) = (-11, -37, 4)

Теперь подставим координаты одной из точек (например, точки A) в уравнение плоскости и координаты вектора нормали:
-11x - 37y + 4z + D = 0
-113 - 37(-2) + 4(-4) + D = 0
D = -33 + 74 - 16 = 25

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через эти точки, имеет вид:
-11x - 37y + 4z + 25 = 0

Теперь проверим, лежат ли все точки на этой плоскости:
-113 - 37(-2) + 4*(-4) + 25 = 0
-33 + 74 - 16 + 25 = 0
0 = 0

Точки a, b, c и d лежат в одной плоскости, так как все они удовлетворяют уравнению этой плоскости.