В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагональ AC равна стороне AD. Докажите, что BC меньше BD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что так как ABCD - выпуклый четырёхугольник, то угол BCD больше угла ADC, так как AD < AC. Таким образом, треугольник BCD остроугольный, а треугольник ABD тупоугольный.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику BCD:
$BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2 \cdot BD \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$

Применим теорему косинусов к треугольнику ABD:
$BD^2 = AD^2 + AB^2 - 2 \cdot AD \cdot AB \cdot \cos(\angle ABD)$

Учитывая, что AB = CD (так как ABCD - параллелограмм), а также заметив что угол BCD = угол ABD, мы можем объединить эти равенства и получить:

$BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2 \cdot BD \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$
$BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2 \cdot BD \cdot CD \cdot \cos(\angle ABD)$

Так как треугольник BCD остроугольный, то $\cos(\angle BCD) > \cos(\angle ABD)$ и последнее неравенство становится:

$BC^2 < BC^2$

$BC < BD$

Таким образом, BC меньше BD.