Через середины двух сторон основания правильной треугольной призмы под углом 30° к основанию проведена плоскость, пересекающая два боковых ребра. Найдите площадь сечения, если сторона равна 15,7 см.
Прошу помощи! У меня получается ответ ≈ 123 см². В ответах учебника ответ ≈ 92,4 см².

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте рассмотрим эту задачу более детально.

Пусть основание треугольной призмы ABCDEFG - правильный треугольник со стороной 15,7 см. Пусть середины сторон AB и BC обозначены как M и N соответственно, причем угол AMN равен 30 градусам. Плоскость, проходящая через середины AMN, BM, CN и ND, обозначим как P. Пересечение плоскости P с основанием треугольника ABCDEFG обозначим как PQRS.

Заметим, что треугольник AMN - равносторонний, так как угол AMN равен 30 градусам. Следовательно, сторона треугольника AMN также равна 15,7 см.

Теперь построим высоту треугольника AMN, опущенную из вершины M на сторону AN. Обозначим точку пересечения этой высоты с стороной AN как K. Тогда треугольник AMK - прямоугольный, с углом AMK равным 30 градусам.

Мы можем найти высоту треугольника AMN, используя теорему синусов:
h = AM sin(30°) = 15,7 sin(30°) ≈ 7,85 см.

Теперь можно найти площадь треугольника AMN:
S_AMN = (1/2) AM h = (1/2) 15,7 7,85 ≈ 61,7 см².

Так как PQRS - подобен треугольнику AMN с коэффициентом подобия 1/2 (так как высота треугольника AMN равна половине высоты призмы), то площадь сечения PQRS равна 1/4 площади треугольника AMN:

S_PQRS = S_AMN / 4 ≈ 61,7 / 4 ≈ 15,4 см².

Таким образом, правильный ответ на задачу - ≈ 15,4 см².