Дан куб АВСДА1В1С1Д1. На его ребрах АА1 В1С1 выбрали точки N и K соответственно так, что AN=B1K.
а) Докажите, чтот прямые NK и D1B перпендикулярны.
б) Наидите двугранный угол при ребре NK тетраэдра NKBD1, если AN:NA1=1:4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Проведем вспомогательные прямые: BD1, AC1 и NK. Поскольку AN = B1K, то треугольник AB1K равнобедренный (AB1 = AK). Так как ABD1C1 - куб, то BD1 перпендикулярна плоскости ABC1D1, следовательно, BD1 перпендикулярна AC1. Отсюда следует, что NK перпендикулярна BD1.

б) Из условия задачи следует, что AN : NA1 = 1 : 4, что равносильно тому, что AN = x, а NA1 = 4x. Предположим, что AK = 4, тогда AB1 = 4, так как треугольник AB1K равнобедренный. Рассмотрим треугольник ANK. По теореме Пифагора получаем:

AK^2 = AN^2 + NK^2
16 = x^2 + NK^2

Теперь рассмотрим треугольник B1NK. С учетом равенства сторон BK = 4 и B1K = 4 получаем:

B1K^2 = BN^2 + NK^2
16 = (4x)^2 + NK^2
16 = 16x^2 + NK^2

Решая систему уравнений x^2 + NK^2 = 16 и 16x^2 + NK^2 = 16, получаем x = 1 и NK = 3.
Теперь найдем двугранный угол между NK и BD1. По формуле для косинуса двугранного угла получаем:

cos(угол) = (AK^2 + NK^2 - B1K^2) / (2 AK NK)
cos(угол) = (16 + 9 - 16) / (2 4 3) = 9 / 24 = 3 / 8

Отсюда получаем, что двугранный угол между ребром NK и BD1 равен arccos(3/8).