В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
которой равны, точки E, F — середины ребер SB и SC соответствен-
но. Найдите косинус угла между прямыми AE и BF.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала рассмотрим треугольники ASE и BTF. Так как объем пирамиды SABCD равен трети объема параллелепипеда, образуемого на ребре AB в качестве одной из его диагоналей, то треугольники ASE и BTF равновелики.

Так как SE и TF являются серединами сторон AB и CD, то они равны между собой и параллельны. Следовательно, угол между прямыми AE и BF равен углу между прямыми SE и TF. Так как треугольники ASE и BTF равновелики, то угол между прямыми SE и TF равен углу SEB или TFA.

Так как угол SAB равен углу BCD, то угол SEB равен углу TFA и оба угла равны половине угла межу прямыми AB и CD.

Пусть AE = 2x. Тогда AS = SB = 2x/2 = x. В прямоугольном треугольнике ASE получаем:
sin(SAE) = SE / AS = (AB / AS) = (2 x) / (3x) = 2 / 3,
cos(SAE) = AE / AS = 2x / 3x = 2 / 3,
значит, tg(SAE) = sqrt(1 - cos^2(SAE) / cos(SAE) = sqrt(1 - 4/9) / 2 / 3 = 1 / 3 sqrt(5).

cos(SAE) = 2 / 3 = 2 / 3.

Из симметрии пирамиды получаем, что угол, образованный BF и CD равен углу, образованный AE и AB.

Ответ: cos угла между прямыми AE и BF равен 2/3.