В трапеции ABCD (AD || BC) диагонали АC и ВD перпендикулярны друг другу, AС = 5, BD = 13. Найти расстояние между серединами оснований.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть M и N - середины оснований AB и CD соответственно.
Так как AC и BD - диагонали трапеции, перпендикулярные между собой, то M и N - середины AC и BD соответственно. Значит, AM = MC и BN = ND.

Так как AC и BD перпендикулярны, то ABCD - прямоугольник. Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AMC:
(BC = \sqrt{AC^2 + AM^2} = \sqrt{5^2 + (\frac{BC}{2})^2} )
(BC^2 = 25 + \frac{BC^2}{4} )
(\frac{3BC^2}{4} = 25 )
(BC^2 = \frac{100}{3} )
(BC = \frac{10}{\sqrt{3}} )

Аналогично, в прямоугольном треугольнике BDN:
(AD = \sqrt{BD^2 - BN^2} = \sqrt{13^2 - (\frac{BD}{2})^2} )
(AD^2 = 169 - \frac{169}{4} )
(AD^2 = \frac{507}{4} )
(AD = \frac{3\sqrt{3}}{2} )

Теперь найдем расстояние между серединами оснований M и N:
(MN = \frac{1}{2}(BC + AD) = \frac{1}{2}(\frac{10}{\sqrt{3}} + \frac{3\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\sqrt{3} + 5\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3})

Итак, расстояние между серединами оснований трапеции ABCD равно (4\sqrt{3}).