В прямоугольнике диагонали пересекаются под углом 120 градусов. Сумма диагонали и меньшей стороны равна 36. Найти диагональ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины диагоналей через а и b, а сторону прямоугольника через с.

Так как диагонали пересекаются под углом 120 градусов, то из косинуса этого угла следует:

cos(120°) = [(a/2)^2 + (b/2)^2 - (c/2)^2] / (ab) = -1/2.

Из этого равенства получаем: a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac + 2bc = 0. (1)

Также по условию задачи: a + b + c = 36. (2)

Возводим равенство (2) в квадрат: (a + b + c)^2 = 36^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc.

Подставляем это выражение в равенство (1):

36^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc + 2ab + 2ac + 2bc.

36^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 4ab + 4ac + 4bc.

Так как a^2 + b^2 + c^2 = (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac + 2bc) + 2ab + 2ac + 2bc = 0 + 2ab + 2ac + 2bc = 2(ab + ac + bc), то:

36^2 = 2(ab + ac + bc) + 4(ab + ac + bc).

36^2 = 6(ab + ac + bc).

6(ab + ac + bc) = 36^2.

ab + ac + bc = 6 * 36 = 216.

Так как ab + ac + bc = c(a + b) \ (c = a + b - 36), получаем: 216 = (a + b)(a + b - 36).

Подставляем вместо (a + b) n, получаем:

216 = n(n - 36).

n^2 - 36n - 216 = 0.

(n - 54)(n + 18) = 0.

n = 54 или n = -18.

Так как a + b = n = 54, а > b, то имеем: a = 54 и b = 18.

Итак, диагональ прямоугольника равна a = 54.