В треугольнике ABC AE и BD - высоты . AC=10,BD=8,BC=16. Найдите AE.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи нам понадобится теорема Пифагора.

Так как AE и BD - высоты, то треугольники ABE и ACD подобны друг другу (по признаку общего угла и угла между высотами), следовательно, отношение сторон в этих треугольниках равно отношению высот к гипотенузе:
[\frac{AE}{AB} = \frac{AC}{AD} = \frac{AC}{BC} = \frac{10}{16}.]

Отсюда находим, что (AE = AB \cdot \frac{10}{16} = \frac{5}{4} \cdot AB).

Для треугольника ABE применим теорему Пифагора:
[AB^2 + AE^2 = BE^2]
[AB^2 + \left(\frac{5}{4} \cdot AB\right)^2 = 8^2.]

Подставляем известные значения и находим:
[AB^2 + \frac{25}{16} \cdot AB^2 = 64]
[\frac{41}{16} \cdot AB^2 = 64]
[AB^2 = \frac{64 \cdot 16}{41} = \frac{1024}{41}.]

Следовательно, (AB = \sqrt{\frac{1024}{41}} = \frac{32}{\sqrt{41}}.) Теперь можем найти AE:
[AE = \frac{5}{4} \cdot AB = \frac{5}{4} \cdot \frac{32}{\sqrt{41}} = \frac{40}{\sqrt{41}}.]

Итак, AE = (\frac{40}{\sqrt{41}}.)