В ∆АВС известно,что <ВАС=60°,<АВС=45°.Продолжения высот ∆АВС пересекают описанную около него окружность в точках M;N;P. a)Докажитп,что ∆ MNP прямоугольный б)Найдите площадь ∆MNP,если ВС=6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a) Для доказательства того, что треугольник MNP прямоугольный, рассмотрим угол, образованный высотами из вершин B и C. Из условия задачи мы знаем, что угол BAS = 60° и угол BAC = 45°. Также, из свойств окружности, угол ABM = BCP = 90° (угол, который высота образует с диаметром окружности перпендикулярен этому диаметру). Отсюда следует, что треугольник MNP является прямоугольным.

b) Площадь треугольника MNP равна половине произведения его сторон, помноженной на синус угла между этими сторонами. Так как ВС = 6, то ВА = 6/√3 = 2√3 (так как треугольник ВАС является равносторонним). Поскольку у треугольника ВАC угол C = 180 - 60 - 45 = 75°, то по теореме синусов sin75° = ВС/ВА = 6/2√3 = √3. Тогда sin15° = 2sin75°cos75° = 2√3/2 * 1/2 = √3/2.

Теперь можем вычислить площадь треугольника MNP:

S(MNP) = 1/2 MN MP sin15° = 1/2 6 2 √3/2 = 3√3.

Итак, площадь треугольника MNP составляет 3√3.