Даны квадрат и прямоугольник с равными диагоналями.
Доказать, что площадь прямоугольника меньше площади квадрата.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона квадрата равна a, а стороны прямоугольника равны b и c, причем b < c (так как площадь прямоугольника меньше площади квадрата).

Тогда по теореме Пифагора:
a^2 + a^2 = d^2, где d - диагональ квадрата,
2a^2 = d^2,
a = d/√2.

Площадь квадрата равна:
S1 = a^2 = (d^2)/2.

Площадь прямоугольника равна:
S2 = bc.

Так как диагонали равны, то:
c^2 + b^2 = d^2,
c^2 + b^2 = 2a^2,
c^2 + b^2 = 2(d^2)/2,
c^2 + b^2 = d^2,
c = b.

Тогда площадь прямоугольника равна:
S2 = b^2.

Так как изначально мы предположили, что площадь прямоугольника меньше площади квадрата, то:
S2 < S1,
b^2 < (d^2)/2,
b < d/√2,
b^2 < (d^2)/2,
S2 < S1.

Таким образом, мы доказали, что площадь прямоугольника меньше площади квадрата.