BM-высота гострокутного трикутника ABC довести:BC^2-AB^2=MC^2-MA^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ABC:

BC^2 - AB^2 = AC^2

Теперь обозначим точку M так, чтобы:

MC = AC - MA

Тогда:

MC^2 - MA^2 = (AC - MA)^2 - MA^2

Раскроем скобки:

MC^2 - MA^2 = AC^2 - 2ACMA + MA^2 - MA^2

Заменим AC^2 из теоремы Пифагора:

MC^2 - MA^2 = BC^2 - AB^2 - 2ACMA

Так как AC = AM + MC, то 2ACMA = 2(AM + MC)MA = 2AMMC + 2*MC^2

Подставим это обратно в предыдущее уравнение:

MC^2 - MA^2 = BC^2 - AB^2 - 2AMMC - 2*MC^2

Теперь воспользуемся тем, что BC^2 - AB^2 = AC^2:

MC^2 - MA^2 = AC^2 - 2AMMC - 2*MC^2

Или, заменяя обратно AC^2 на BC^2 - AB^2:

BC^2 - AB^2 = MC^2 - MA^2

Таким образом, мы довели высоту треугольника ABC до выражения BC^2 - AB^2 = MC^2 - MA^2.